Table des matières

1 Suite numérique 3

1.1 Convergence et divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Règles d’addition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Règles de multiplication des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Suites arithmétiques et suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Équation de récurrence linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Série numérique 8

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Calcul intégral 11

3.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Quelques techniques de calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.1 Les primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2 Intégration par parties dans un calcul d’ intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.3 Intégration par parties dans un calcul de primitive . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.4 Changement de variable dans une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.5 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.6 Décomposition en élément simple d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . 15

4 Développement limité d’une fonction 22

4.1 Développement limité d’une fonction au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Quelques développement limités de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Techniques de détermination de développement limités . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1 Changement de variable linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.2 Linéarité des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.3 Multiplication de deux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.4 Quotient de développement limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Développement limité au voisinage de x0 6Æ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5 Développement asymptotique d’une fonction au voisinage de l’infini . . . . . . . . 26

5 Matrices 28

5.1 Égalité de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Addition des matrices etmultiplications par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

5.5 Algèbre des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.6 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.6.1 Calcul pratique des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.6.2 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7.1 Méthode de pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7.2 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39