Table des matières

1 Initiation aux structures algébriques élémentaires 3

1.1 Ensemble et sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Relation, fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Structure algébrique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Espaces vectoriels 16

2.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Bases (en dimension finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Les théorèmes fondamentaux sur la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Système d’équation linéaire 24

3.1 Étude d’un système d’équations linéaires par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Cas des systèmes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Utilisation pratique de laméthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Applications linéaires et matrices 29

4.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Image et noyau. Image d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.2 Matrices associées aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Addition des matrices et multiplications par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7 Matrice d’un vecteur. Calcul de l’image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.8 Matrice de l’inverse d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.9 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.9.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.9.2 Action du changement de base sur les composantes d’un vecteur . . . . . . . 38

4.10 Rang d’une application linéaire et rang d’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

RAKOTOARIMANANA Tsiriheriniaina

5 Déterminant 43

5.1 Calcul de l’inverse d’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Déterminant du produit de matrices. Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . 47

5.3 Applications du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.1 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.2 Théorie du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49