Algèbre
Cours Algèbre Mention Economie L1 - S2
partout Madagascar avec de frais supplémentaire
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Table des matières
1 Initiation aux structures algébriques élémentaires 3
1.1 Ensemble et sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Relation, fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Structure algébrique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Espaces vectoriels 16
2.1 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Bases (en dimension finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Les théorèmes fondamentaux sur la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Système d’équation linéaire 24
3.1 Étude d’un système d’équations linéaires par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Cas des systèmes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Utilisation pratique de laméthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Applications linéaires et matrices 29
4.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Image et noyau. Image d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Matrices associées aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Addition des matrices et multiplications par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7 Matrice d’un vecteur. Calcul de l’image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 Matrice de l’inverse d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.9 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.9.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.9.2 Action du changement de base sur les composantes d’un vecteur . . . . . . . 38
4.10 Rang d’une application linéaire et rang d’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
RAKOTOARIMANANA Tsiriheriniaina
5 Déterminant 43
5.1 Calcul de l’inverse d’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Déterminant du produit de matrices. Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . 47
5.3 Applications du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.1 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.2 Théorie du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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